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A Base Acústica da Escala: A Série Harmónica e Temperamento igual

Era bem conhecido dos antigos matemáticos gregos que as relações intervalares mais simples entre tons correspondem exactamente a razões simples, de comprimentos de uma corda em vibração. Se, por exemplo, encurtarmos para metade do seu tamanho inicial uma corda que, ao ser puxada emite um som com determinado tom, o tom resultante soará, relativamente ao som inicial, uma oitava acima, admitindo obviamente que a tensão na corda se mantêm constante ao longo da experiência. Se, nas mesmas condições experimentais, encurtarmos a corda de apenas um terço do seu comprimento (isto é, se trabalharmos com uma corda com 2/3 do seu tamanho original) o som emitido situa-se uma quinta acima do original, e de forma perfeita; outras proporções simples irão implicar outros intervalos. Os intervalos simples e os quocientes dos comprimentos associados das cordas podem ser facilmente correlacionados, se usarmos uma "monocorda", que é essencialmente uma corda com uma ponte fixa e uma móvel, montada sobre uma régua adequada, do tipo das existentes em muitos laboratórios de física experimental. Mas mesmo sem uma "monocorda", os intervalos podem ser medidos numa corda musical suficientemente longa, como uma das cordas de um baixo ou de um violoncelo, usando uma simples fita métrica, de preferência graduada em centímetros.

Se colocarmos uma corda de comprimento arbitrário (que denotamos pela unidade, 1) entre duas pontes fixas, e a dividirmos usando uma terceira ponte, que colocamos entre as duas pontes fixas iniciais, podemos obter tons representados pelos comprimentos 1/n e 1-1/n, i.e., os comprimentos da corda de cada um dos lados da ponte móvel, com n inteiro natural.

A corda não dividida (comprimento 1) tem o tom "Dó", duas oitavas abaixo do "Dó" central, correspondente à corda aberta, que é a nota mais baixa do violoncelo. O processo de divisão não pode ser levado até valores muito elevados de n, uma vez que se torna impraticável a medida de intervalos de corda muito pequenos, embora do ponto de vista teórico n possa tender para +¥ . Aos diferentes valores de n, n = 1, 2, 3, 4, 5, etc. chamamos números harmónicos, a que correspondem comprimentos 1/n = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc. Aos tons associados chamamos série harmónica para o "Dó" inferior; os números harmónicos são os ordinais dos harmónicos da série. O número de cada tom é também o denominador da fracção que representa o comprimento da corda que produz esse tom. Alguns dos tons produzidos (correspondentes a n = 7, 11, 13, 14, ...) estão aquilo a que usualmente se chama fora de tom. Uma terminologia mais antiga, ainda largamente usada, chama a essa série a série de "overtones", mas numera as notas de forma diferente; a segunda harmónica é o primeiro "overtone", a terceira harmónica é o segundo "overtone", e assim por diante, enquanto a primeira harmónica é chamada a fundamental.

As harmónicas podem ser geradas por qualquer sistema em vibração. Sob condições normais, uma corda vibrante soa não só o tom fundamental, mas conjuntamente - pelo menos teoricamente - todos os outros harmónicos. Os harmónicos acima do fundamental estão presentes no tom, mas com uma intensidade muito inferior à do fundamental, e a sua intensidade relativa decresce à medida que aumenta o seu número harmónico, em muitos dos casos desaparecendo completamente acima do décimo sexto. As intensidades relativas dos harmónicos acima do fundamental contribuem para a nossa percepção de timbre e de individualidade instrumental; a distribuição destas intensidades relativas resulta numa característica em forma de onda, que pode ser medida de forma precisa num laboratório acústico moderno. A forma da onda de um "Dó" central sustenido num oboé é muito diferente da forma da onda associada a um "Dó" central tocado num piano. Um tom "puro", isto é, um tom fundamental sem qualquer "overtone", é representado por uma onda sinusoidal (o gráfico de uma função y = sin x), e pode facilmente ser gerado electronicamente.

Repensemos na série harmónica, 1/n, n³ 1. Note-se que os intervalos entre harmónicos adjacentes se vão tornando progressivamente mais pequenos, o que provoca uma desigualdade entre a série harmónica que podemos gerar e ouvir, e a notação musical que escolhemos para a representar. Ou seja, o nosso sistema de notação usual não pode representar as notas da série harmónica de forma precisa, ou pelo menos não as pode representar a todas. Mas sabemos que a notação musical que usamos, embora complicada e difícil de aprender, é adequada para representar a música. Como salvar o nosso sistema notacional? Pode-se encontrar uma resposta para isto num compromisso histórico conhecido como temperamento igual, inventado no início do século XVI, mas só usado no tempo de J.S. Bach, que o popularizou. No temperamento igual, a oitava é dividida em 12 intervalos exactamente iguais; cada semitom da oitava, independentemente de onde está situado, é representado por uma razão constante.

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